Så fungerar cosinussatsen

  Trigonometriska samband

Inom geometri och trigonometri finns det många viktiga samband som hjälper oss att lösa problem genom att förstå samband mellan olika sidor och vinklar i geometriska figurer. Ett sådant samband är cosinussatsen där vi erbjuds ett användbart samband mellan sidor och vinklar i icke-rätvinkliga trianglar.

Tillsammans med sinussatsen och areasatsen är denna sats en de av de satser som kallas för triangelsatserna.

Teori: Detta säger Cosinussatsen

Ovan finns en figur på en triangel. Cosinussatsen beskriver följande samband mellan sidorna och vinklarna. 

a^2=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A \\
b^2=a^2+c^2-2 \cdot a \cdot c \cdot \cos B \\
c^2=a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C

Detta samband tillåter oss att beräkna en sidas längd när vi känner till längderna på de andra två sidorna och den motsvarande vinkeln, och vice versa. Det är särskilt användbart när vi arbetar med trianglar som inte är rätvinkliga och där vi inte kan använda Pythagoras sats direkt.

Exempel på användning av cosinussatsen

Bestäm vinkeln vid A

Vi använder cosinussatsen och ställer upp sambandet

20^2=10^2+28^2-2 \cdot 10 \cdot 28 \cdot \cos A

Vi förenklar

400=884-560 \cos A

Vi subtraherar med 884 i bägge leden

-484=-560 \cos A

Vi delar med -560 i bägge leden

0,86= \cos A

Arccos i bägge leden ger oss vinkeln

A= \arccos(0,86) ≈ 30^{\circ}

När är cosinussatsen användbar?

En bra fråga är när cosinussatsen är användbar. Finns det tillämpningar i verkligheten där denna sats kan komma till nytta? Svaret på det är att det finns det. Några exempel på sådana tillämpningar är följande:

  • Geometriska beräkningar och navigering: Att kunna ta reda på sidor och vinklar kan exempelvis vara användbart när man jobbar med kartor och navigering. På det viset kan exempelvis avstånd beräknas.
  • Grafik i Datorspel: Inom spelutveckling används cosinussatsen för att beräkna synvinklar och avstånd mellan objekt i virtuella världar.
  • Fysik och ingenjörsskap: Inom dessa områden kan cosinussatsen användas för att exempelvis analysera krafter och rörelser.

Sammanfattning

Cosinussatsen om den används på rätt sätt är alltså mycket användbar även utanför matematikens teoretiska värld. Den används för att kunna beräkna vinklar och/eller sidor när vi har icke rätvinkliga trianglar.