När du deriverar trigonometriska funktioner så är det viktigt att känna till deras derivata (deriveringsregler). Här går vi igenom detta och tar exempel på hur dessa funktioner deriveras.

När dessa typer av funktioner deriveras så är det också viktigt att du redan känner till hur deriveringsreglerna produktregeln och kedjeregeln fungerar. Så vet du inte hur de gör det så rekommenderas att titta på dem först.

Deriveringsregler

y=\sin x\\
y´= \cos x

y=\cos x\\
y´= - \sin x

y=\tan x\\
y´= \frac{\sin x}{\cos x}=1+ \tan x^2

Exempel på där trigonometriska funktioner deriveras.

Exempel 1

Bestäm f´(x) om f(x)=\sin x - \cos x.

Här har vi funktionen f(x)=\sin x - \cos x och när denna deriveras får vi

f´(x)=\cos x -(- \sin x)=\cos x + \sin x

Tänk här på att vi byter tecken då vi har subtraktion av det negativa - \cos x

Exempel 2

Bestäm f´(x) om f(x)=8\sin x.

Nu har vi konstanten 8 framför det trigonometriska uttrycket och den “följer” med när detta deriveras.

f´(x)=8\cos x

Anledningen till att den följer med på detta vis beror på att det är en konstant. Man kan exempelvis använda produktregeln för att förvissa sig om att detta stämmer. Det skulle i så fall se ut på följande vis

f´(x)=8 \cdot \cos x + 0 \cdot \sin x=8 \cos x

Exempel 3

Bestäm f´(x) om f(x)=2\sin (2x) .

Här har vi det intressanta att vi har en inre och en yttre funktion, dvs en sammansatt funktion, och därmed behöver använda oss av kedjeregeln.

Derivatan för en sammansatt funktion f(g(x)) är f´(x) \cdot g´(x) .

Så i vårt exempel får vi därmed derivatan

f´(x)=2 \cos (2x) \cdot 2 = 4 \cos (2x)

Exempel 4

Bestäm f´(x) om f(x)=\sin ^2 x .

Även nu har vi en sammansatt funktion men nu är den inre derivatan \sin x och får då derivatan

f´(x)= 2 \sin x \cdot \cos x