Ofta består trigonometriska funktioner av inre och yttre funktioner. Detta kallas för sammansatta funktioner. Här berättar vi vad en sådan funktion är för något samt hur du deriverar dem. Det kan vara bra att du först kikar på artikeln om att derivera sin, cos och tan.

En sammansatt funktion

En sammansatt funktion f(g(x)) består av den yttre funktionen f(g(x)) och den inre funktionen g(x).

Exempel på sådana funktioner är

f(x)=(x+2)^2

där den inre funktionen är g(x)=x+2 och den yttre är f(x)=(g(x))^2=(x+2)^2

Kedjeregeln

Den deriveringsregel som används för att derivera dessa typer av funktioner kallas för kedjeregeln. Den är följande.

Om

y=f(g(x))

så är dess derivata

y´=f´(g(x)) \cdot g´(x)

Man brukar med ord säga att derivatan är den yttre derivatan multiplicerad med den inre derivatan.

Två exempel

Exempel 1: Derivera

f(x)=\sin ^4x

Denna funktion har den inre funktionen \sin x och den yttre som är den inre upphöjt till 4. Vi använder kedjeregeln och får

f´(x)=4 \sin ^3 x \cdot \cos x

Exempel 2: Derivera

f(x)=\cos (4x)

Denna funktion har den inre funktionen 4x och den yttre cos(inre funktion). Vi använder kedjeregeln och får

f´(x)=- \sin (4x) \cdot 4 = -4 \sin (4x)