De trigonometriska satser som kallas för additions- och subtraktionsformlerna säger följande:

\sin (a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b \\
\sin (a - b) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b \\
\cos (a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b \\
\cos (a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \\

Precis som med andra trigonometriska formler som dubbla vinkeln och trigonometriska ettan så kan dessa användas till att härleda nya samband eller att beräkna exakta trigonometriska värden.

Nedan hittar du två stycken introducerande exempel på “visa att” uppgifter där du får se hur formlerna kan användas.

Exempel 1 – Visa att

\sin(90^{\circ}+x)=\cos x

Vi kan med en av additionsformlerna skriva om vänsterledet

\sin(90+x) =\sin 90^{\circ} \cos x+ \cos90^{\circ} \sin x 

\sin 90^{\circ}=1 och \cos 90^{\circ}=0 så vi får

\sin 90^{\circ} \cos x+ \cos90^{\circ} \sin x =1 \cdot \cos x+0 \cdot \sin x=\cos x

Vilket skulle visas.

Exempel 2 – Visa att

\sin(x+30^{\circ})-\sin(x-30^{\circ}) = \cos x

Vi utvecklar vänsterledet.

\sin(x+30^{\circ})-\sin(x-30^{\circ}) = \\
\sin x \cos 30^{\circ}+ \cos x \sin 30^{\circ}-(\sin x \cos 30^{\circ}-\cos x \sin 30^{\circ}) = \\
2\cos x \sin 30^{\circ}

\sin 30^{\circ}=\fraq12 så vi får

2\cos x \sin 30^{\circ}=2 \cos x \cdot \frac12=\cos x

vilket skulle visas.

Exakta trigonometriska värden

I exemplen ovan använder vi exakta trigonometriska värden. Dessa kan du hitta i formelblad, exempelvis till nationella prov. Det är mycket bra om du bekantar dig med tabellerna där då du kommer att ha stor nytta av att kunna räkna ut de vanligaste exakta trigonometriska värdena.